费马大定理（Fermat's Last Theorem）不仅是一道困扰数学家300多年的难题，还有人专门写了一本书，书名就是《费马大定理》。这本书在我的Kindle里放了有挺长时间了，最近重新捡了起来，因为我发现比特币加密算法中的椭圆曲线与费马大定理有密切关系，而我又实在看不出费马公式

公式与椭圆曲线

有何联系，所以到书中一寻究竟。

《费马大定理》一书的作者是Simon Singh，他还在1996年导演了同名的纪录片《地平线：费马大定理》（链接：https://v.qq.com/x/page/d0198hri4gz.html）。虽然作者在书和电影中尽量都用朴实的语言，并没有引入几个公式，但如果没有基本的数论知识，理解起来并不轻松，听听多位数学家们的秩事还是挺有意思的。

国内有位张宇老师也专门做了一期视频，把其中的一些故事讲得生动有趣，链接：https://v.qq.com/x/page/e0544ev5yzw.html

勾股定理

费马大定理的描述非常简单，小学生就可以理解，但证明过程奇难无比，这个定理与我们熟知的勾股定理还是近亲。勾股定理的公式

我们在小学时就学过，在国外被称为毕达哥拉斯定理 （Pythagorean theorem）。

满足方程

的正整数解被称为勾股数，在国外称为毕达哥拉斯三元组（Pythagorean triple），最小的一组勾股数是我们熟悉的(3,4,5)，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”。

现在有了计算机，找这些勾股数非常轻松，比如一行Python代码就可以搞定，这里去掉了一些重复项，假定a<b<c

print([(a,b,c) for a in range(1,101) for b in range(a,101) for c in range(b,101) if a**2 + b**2 == c**2])
执行结果如下：
[(3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), ... , (60, 80, 100), (65, 72, 97)]

Haskell的源代码则更加简洁，代码即公式，公式即代码：

[(x,y,z) | x<-[1..100], y<-[x..100], z<-[y..100], x^2+y^2==z^2 ]

中国人研究数学是实用主义，能把“勾三股四弦五”用于生产实践就行，而国外学派讲究严谨，构建好几条公理，然后通过公理去证明一条一条的定理。勾股定理看似简单，但证明起来也需要一点技巧，我上学时用过的教科书上看到的是经典的欧几里得证明法。说实话，当时看明白了这个复杂的证明思路，但现在无论如何是推不出来了。

有一些爱好者收集了100多种证明方法，可谓是五花八门、千奇百怪，链接：https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml，我最喜欢下面这种无字的证明。

说到无字证明，再扯远一些，当年看过这个关于排列组合的无字证明，这个图中除了公式之外，绝对是一个字也没有，非常精巧，不过理解起来也并不容易。

费马大定理

勾股公式中存在着无穷的正整数解，但把方程稍微改一下

，就找不出一个正整数解，对于

，

，仍然没有正整数解。因此，费马猜测：

n>2时，没有正整数解。 费马出生贵族，喜欢捉弄其他的数学家，经常呆在家里琢磨出一个定理，对外宣称自己找到了证明方法，让外人苦思冥想而不得解。费马死后，有人在他的手稿里发现了许多定理，其它定理慢慢都被世人解决了，但只有一个没被解决，被称为 最后的定理 (Last theorem)，国内翻译为 费马大定理 ，费马折磨人的天性不改，手稿的空白处留着这样一句经典的话：

对这个命题我有一种十分美妙的证明，可惜这里空白太小，写不下。

他留下这一小段话不要紧，这个定理又折磨了后人300多年。

完满数、亲和数、可交往数

完满数 (Perfect Number)，又被称为完全数、完美数或完备数，它的所有真因子之和，恰好等于它本身。

从这个思路出发，有人发明了 亲和数 （Amicable Pair），即某个数的所有真因子之和正好等于对方。220和284互为亲和数，因为220的所有因子1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110之和为284，而284的所有因子1, 2, 4, 71, 142之和为220。

再推广之，就有了 可交往数 (Sociable Numbers)，例如：数组（1264460, 1547860, 1727636, 1305184）中，第一个数的因数之和等于第二个数，第二个数的因数之和等于第三个数，...，而第四个数的因数之和等于第一个数，就这样，一群数形成了一个社交圈。

欧拉猜想

欧拉从费马大定理出发也提出了一个猜想，他认为下面这样的方程不存在整数解：

不过，这个猜想是不成立的，很快就有人找到了反例。

1966年，L.J.Lander和T.R.Parkin找到一个反例：

1988年，Noam Elkies找出一个反例：

Roger Frye用电脑直接搜索，找出了一组最小的反例：

n<41000000

费马死于1665年，这个定理发表的时候已经是1670年，费马大定理实在是太折磨人了，数学家就从容易的特例开始下手：

1676年、1678年数学家证明了n=4时，费马大定理成立；

1770年，欧拉证明了n=3时成立；

1823年，n=5的情形被证明；

1832年，n=14被攻克；

1839年，n=7被法国数学家拉梅证明；

1844年，德国数学家识库麦尔用了20多年创立了理想数理论，证明了当n<100，并且不是37、59、67三个数时，费马大定理成立；

1955年，n<4002均成立；计算机开始出现，加速了证明的过程。

1976年，n<125000；

1985年，n<41000000；

但这种证明方法永远无法最终证明费马大定理，即使把n推进到10的1亿次方，仍是一个有限数，费马大定理看来是无法证明的。

根据有限的例子来推出一个结论在数学上是不可靠的，比如：31，331，3331，33331，333331，3333331，33333331 这些数都是素数，但很可惜，下一个数333333331却不是素数，它可以分解为17 * 19607843。

10万马克

保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl)是一名医生，同时也是数学爱好者，他迷恋上了一位漂亮的女性，但是惨遭拒绝，这使他倍感沮丧而决定自杀。保罗做什么事情都要按计划行事，他非常谨慎地制定了死亡计划中的每个细节。他定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起时用一颗子弹结束自己的生命。

他做事效率比较高，很快提前把安排好的事情都做完了，这时离午夜还有好几个小时呢。为了消磨这几个小时，他就去了图书馆，随手翻到一本数学期刊，很快他被一篇有关费马大定理证明的论文吸引住了，他发现论文中的一处逻辑有漏洞。于是坐下来开始全神贯注地演算，当然最后他没有证明出费马大定理，但规定的自杀时间在不知不觉中已经过了。

沃尔夫斯凯尔感受到了证明数学题的过程带来的成功喜悦，重新认识到了人生的价值并不只有爱情，数学重新唤起了他生命的欲望。为了感谢这个大定理的救命之恩，他的新遗嘱从他死后财产中拿出10万马克（在1997年时相当与100万英镑）设立了一个大奖，用于奖给任何能证明费马大定理的人。1997年6月27日，该奖最后被安德鲁·怀尔斯获得。

保罗·沃尔夫斯凯尔

椭圆曲线

椭圆曲线的模样并不像椭圆，是因为类似于计算一个椭圆的周长的积分而得名。

椭圆曲线的一般形式是

从下面这个特例中可以看出椭圆曲线长的样子。

据说费马大定理经过一个变换可以变为下面这个椭圆曲线方程：

椭圆曲线都是关于x轴对称的，数学家们再给椭圆曲线定义了一种神奇的加法操作，比如P+Q，表示两点的连线与曲线的交点，再向x轴引垂线，对面的那个点就是相加之后的结果。而对于相同的点的加法R+R，则先做切线，再做垂线。

这种加法操作的几何含义还是挺直观的，可是密码学家们发现把它稍加改造，就可以用于 非对称加密领域 。这种加密理论要求找到一种不可逆的运算，有加法运算，但没有减法；有乘法运算，没有除法运算。本来密码学家们把大素数相乘用于著名的RSA加密算法中，比如：

99996011 * 99999787 = 9999579800849657

两个素数相乘很容易计算，但把右侧的数字分解为2个素数之积难度就不小，当把500位的素数与500位的素数相乘之后，以现在计算机的计算速度几乎无法解决这个大素数的分解难题。